જો શ્રેણી frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ શ્રેણીનું $n$-મું પદ નીચે મુજબ છે:$a_n = \frac{2n + 1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i

Vedclass · Accepted Answer

$120$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ શ્રેણીનું $n$-મું પદ નીચે મુજબ છે:$a_n = \frac{2n + 1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:$a_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીને $a_n$ ને સરળ બનાવતા:$a_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$હવે,$20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n = 6 \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:$S_{20} = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{20} - \frac{1}{21}) \right]$$S_{20} = 6 \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = 6 \left( \frac{20}{21} \right) = \frac{120}{21}$આપેલ છે કે $S_{20} = \frac{k}{21}$,સરખામણી કરતા,આપણને $k = 120$ મળે છે.

જો શ્રેણી $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ ના $20$ પદોનો સરવાળો $\frac{k}{21}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

કોઈપણ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a, b, c$ માટે,જો $9(25a^2 + b^2) + 25(c^2 - 3ac) = 15b(3a + c)$ હોય,તો:

શ્રેણી માટે,$a_1 = 2$ અને $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3}$ છે. તો $\sum_{r=1}^{20} a_r$ શું થશે?

$\sum\limits_{r = 1}^n {\log \left( {\frac{{{a^r}}}{{{b^{r - 1}}}}} \right)} $ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે ${S_n}$ એ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) ના $n$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે. જો ${S_{2n}} = 3{S_n}$ હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{{{S_{3n}}}}{{{S_n}}}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module